Nesta aula abordamos o conceito de vizinhança de um subconjunto, de ponto isolado e espaço discreto. Em contraposição, vemos também o conceito de conjunto derivado e suas propriedades. Apresentamos a definição do fecho de um conjunto e, munidos desta, apresentamos a de conjunto fechado. Finalmente, caracterizamos o fecho de um conjunto como o menor conjunto fechado que o contém e caracterizamos um conjunto como fechado se, e somente se, for complementar de um conjunto aberto.
Nesta aula introduzimos o conceito de sequência em espaços métricos e o de subsequências. Apresentamos a definição formal de limite de uma sequência e sequência convergente, e provamos que o limite, quando existe, é único. Apresentamos, também, propriedades de subsequências de sequências convergentes.
Nesta aula estudamos a convergência das sequências monótonas e limitadas em IR, apresentando e fazendo uso das noções de limite inferior (liminf) e limite superior (limsup). Generalizamos a noção de convergência de sequências para espaços vetoriais (reais ou complexos) normados, onde podemos "operar" com sequências: apresentamos a soma de sequências e suas propriedades e o produto de sequências por um escalar.
Nesta aula abordamos o conceito de função contínua em um ponto e, em seguida, estendemos o conceito para conjuntos. Apresentamos a definição de função descontínua e damos diversos exemplos. Como exemplos de funções contínuas, apresentamos as imersões isométricas, as contrações fracas, as funções lipschitzianas e localmente lipschitzianas, bem como as funções que são contínuas em cada parte limitada de um espaço métrico.
Nesta aula abordamos os seguintes tópicos: Propriedades de funções uniformemente contínuas: a composição de funções uniformemente contínuas é uniformemente contínua. A restrição de uma função uniformemente contínua é uniformemente contínua. Toda função uniformemente contínua definida em um intervalo real limitado é limitada. Caracterização de continuidade uniforme em termos de sequências. Homeomorfismos. Propriedades topológicas.
Nesta aula abordamos o conceito central de 'homeomorfismo'. Apresentamos diversos exemplos: intervalos abertos, bolas abertas em espaços vetoriais, projeção estereográfica, homeomorfismo entre o plano perfurado e o cilindro circular e um homeomorfismo entre o cilindro circular e o hiperboloide de uma folha.