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Na presente aula introduzimos a noção de compacidade sequencial, mostrando, em seguida, se tratar de uma propriedade topológica - ou seja, de uma propriedade preservada por homeomorfismos. Mostramos que subconjuntos fechados de conjuntos compactos são compactos, e que todo subconjunto sequencialmente compacto de um espaço métrico é fechado. Finalmente, apresentamos resultados acerca da compacidade do produto cartesiano de espaços sequencialmente compactos.
Definição, conjuntos abertos, fechados, vizinhanças, pontos de acumulação, compactos, conexos. Sequências numéricas: convergência. Caracterização de aberto, fechado e ponto de acumulação por sequências, relação entre compacto e sequencialmente compacto. Sequências de Cauchy. Completude. Funções contínuas. Caracterização de continuidade por sequência. Preservação de compactos e conexos por função contínua.
Generalizar o conceito de distância euclidiana. Estabelecer o conceito de funções entre espaços métricos. Reconhecer as equivalências isométricas e topológicas entre tais espaços. Reconhecer as propriedades de conexidade e compacidade, bem como suas invariâncias por continuidade. Estabelecer propriedades dos espaços métricos completos.