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Nesta aula apresentamos a definição de medida, algumas propriedades básicas, e alguns exemplos. Introduzimos a noção de completamento de uma medida, mostrando como toda medida pode ser sempre estendida a uma medida completa. Ao final da aula, introduzimos os conceitos de medida exterior e calibre.
1. Espaços de medida;
2. Integração;
3. Medidas produto;
4. Medidas com sinal e medidas complexas;
5. Espaços Lp;
6. Medidas em espaços localmente compactos Hausdorff;
7. Introdução à Análise de Fourier;
8. Tópicos especiais e aplicações
As Teorias da Medida e da Integração, em suas várias vertentes, desempenham um papel central em Matemática, papel este que vai muito além das fronteiras da Análise propriamente dita.
São essenciais em várias áreas, tais como Equações a Derivadas Parciais, Análise Harmônica, Probabilidade, Teoria Ergódica e Análise Funcional.
O objetivo central deste curso é apresentar os conceitos básicos das Teorias da Medida e da Integração, de Lebesgue e Abstrata, e exibir algumas de suas aplicações às áreas supra-relacionadas.