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[PGF5001-17] Mecânica Quântica I

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Nessa aula discutimos um método de aproximação para determinar os autovalores e autovetores de um Hamiltoniano 𝐻0+𝜆𝑊,onde inicialmente conhecemos os autovalores e autovetores de 𝐻0. Esse método, denominado de método perturbativo, pressupõe que 𝜆𝑊 seja em "algum sentido" muito menor do que 𝐻0. O método se baseia em uma expansão em série de potência de 𝜆, o parâmetro perturbativo, que em geral, não é uma série convergente, mas assintoticamente convergente. O tratamento é naturalmente diferente para a correção de níveis degenerados e não degenerados. Desenvolvemos o método nesses dois casos.
Nessa aula estudamos o problema de dois corpos com um potencial central em Mecânica Quântica. Mostramos como podemos separar o problema em dois: o do Hamiltoniano do centro de massa e o do Hamiltoniano relativo. Como o problema do centro de massa se reduz a o de uma partícula livre com a massa e momento total do sistema composto, discutimos também como descrever uma partícula livre usando a base de ondas planas (autoestados simultâneos das três componentes do momento da partícula) ou usando a base de autoestados simultâneos da energia, momento angular orbital 𝐿2 e projeção 𝐿𝑧 do momento angular orbital da partícula. Voltando ao problema de dois corpos, consideramos o sistema relativo também nessa base. Essa formulação se presta tanto ao estudo de espalhamento como o de sistemas ligados. A simetria de rotação permite mostrar que a única parte ainda não resolvida do problema é a que diz respeito a função de onda radial.
Nessa aula discutimos o problema de uma partícula carregada em um campo magnético estático e uniforme no gauge simétrico. Encontramos os auto-estados simultâneos do Hamiltoniano no plano transversal à direção do campo magnético e de momento angular 𝐿𝑧. Mostramos que existem infinitos estados para cada nível da Landau. Discutimos o mesmo problema usando estados coerentes, sem a necessidade da escolha de um gauge particular. Calculamos no gauge simétrico as funções de onda dos estados fundamentais do sistema e mostramos que elas tem as propriedades esperadas, em particular, que são autoestados de 𝐿𝑧.
Nesta aula definimos estados coerentes, que são estados particulares do oscilador harmônico cujo valor esperado dos operadores de coordenada e momento tem evolução temporal semelhante à evolução clássica. Esses estados tem a propriedade de que as incertezas na posição e momento saturam a relação de incerteza de Heisenberg, o que é uma propriedade conservada pela evolução temporal do estado. Desenvolvemos aqui o formalismo de Glauber construindo os estados coerentes, autoestados do operador de abaixamento 𝑎, deslocando o estado fundamental do oscilador harmônico livre usando o operador deslocamento 𝐷(𝑧). Discutimos também o caso de uma partícula carregada em um campo magnético estático e uniforme e mostramos como esse problema se relaciona ao de um oscilador harmônico unidimensional
Nessa aula discutimos sistemas que podem ser descritos pelo Hamiltoniano de um oscilador harmônico livre e encontramos os autovetores e autovalores desse sistema, construindo assim o espectro livre. Definimos os operadores de abaixamento e levantamento que nos auxiliam a construir os estados estacionários e a calcular o valor esperado de diversos observáveis. Em seguida, consideramos o Hamiltoniano que descreve um oscilador forçado. Encontramos as equações de Heisenberg para o operador de abaixamento e a solução dessa equação. Introduzimos o operador deslocamento que nos auxilia a descrever a evolução temporal do operador de abaixamento. Construimos o estado fundamental evoluído no tempo sob ação do potencial de um oscilador harmônico forçado.
Nesta aula discutimos a adição de momento angular na Mecânica Quântica, mostramos que existem duas bases que podemos usar para descrever o sistema composto de dois sub-sistemas de momento angular 𝑗1e 𝑗2: a base desacoplada e a base acoplada. Calculamos os valores possíveis para o momento angular total do sistema. Vemos que o espaço de Hilbert H𝑗1𝑗2 é um espaço redutível que pode ser decomposto em espaços de Hilbert irredutíveis 2(𝑗1+𝑗2)+1,..., 2|𝑗1−𝑗2|+1 invariantes por rotação. Encontramos a relação entre as bases acoplada e desacoplada definindo os chamados coeficientes de Clebsh-Gordan. Finalmente, discutimos as regras de seleção para os elementos de matriz não nulos de um operador vetorial na base {|𝑗𝑚⟩} a partir de propriedades de rotação.
Abordamos aqui o momento angular na Mecânica Quântica a partir de considerações de simetria. Discutirmos o espectro geral dos operadores do momento angular e as consequências para as propriedades gerais dos espaços de Hilbert de j fixo de dois teoremas relacionados a propriedades do espectro de 𝐽𝑧 que são invariantes de base. Exemplificamos com os caso especiais de spin 𝑗=1/2 e 𝑗=1 e depois generalizamos esses resultados.
Nesta aula discutimos simetrias na Mecânica Quântica, simetrias contínuas como de translação e rotação implementadas por operadores unitários e induzidas por geradores de grupos de Lie e simetrias discretas, também implementadas por operadores unitários, como a simetria de reflexão espacial. Definimos o que são os operadores de momento angular na Mecânica Quântica assim como o que são operadores escalares e vetoriais. Discutimos quando operadores são ligados a quantidades conservadas.
Fazemos aqui uma introdução do formalismo de Integrais de Trajetória, como uma visão alternativa da Mecânica Quântica que permite colocar em correspondência explícita as Mecânicas Clássica e Quântica. Usamos esse formalismo para mostrar outra forma de calcular o propagador, enfatizando no entanto que sua generalização é fundamental em áreas como Teoria Quântica de Campos e Mecânica Estatística (Sistemas Críticos e Transições de Fase).
Nessa aula discutimos a evolução temporal de sistemas quânticos quando 𝐻=𝐻(𝑡).Introduzimos a expansão de Dyson, preparando para teoria de perturbação. Definimos propagador como o kernel da equação integral de Schrödinger quando 𝐻=𝐻(𝑡) e mostramos que no caso de 𝐻 não depender do tempo o kernel da equação é a função de Green. Calculamos, como exemplo, o propagador de um sistema de partículas livres.
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