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[PGF5001-17] Mecânica Quântica I

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Nessa aula recapitulamos algumas ideias matemáticas importantes e necessárias para desenvolver a descrição de sistemas físicos na mecânica quântica : a noção de espaço de Hilbert, operadores lineares (hermitianos, anti-hermitianos, unitários, simétricos), projetores e bases de representação.
Nesta aula discutimos a adição de momento angular na Mecânica Quântica, mostramos que existem duas bases que podemos usar para descrever o sistema composto de dois sub-sistemas de momento angular 𝑗1e 𝑗2: a base desacoplada e a base acoplada. Calculamos os valores possíveis para o momento angular total do sistema. Vemos que o espaço de Hilbert H𝑗1𝑗2 é um espaço redutível que pode ser decomposto em espaços de Hilbert irredutíveis 2(𝑗1+𝑗2)+1,..., 2|𝑗1−𝑗2|+1 invariantes por rotação. Encontramos a relação entre as bases acoplada e desacoplada definindo os chamados coeficientes de Clebsh-Gordan. Finalmente, discutimos as regras de seleção para os elementos de matriz não nulos de um operador vetorial na base {|𝑗𝑚⟩} a partir de propriedades de rotação.
Nesta aula discutimos a adição de momento angular na Mecânica Quântica, mostramos que existem duas bases que podemos usar para descrever o sistema composto de dois sub-sistemas de momento angular j1 e j2: a base desacoplada e a base acoplada. Calculamos os valores possíveis para o momento angular total do sistema. Vemos que o espaço de Hilbert j1 j2 pode ser decomposto em espaços irredutíveis 2(j1+j2)+1,...,2|j1-j2|+1 invariantes por rotação. Discutimos as regras de seleção para os elementos de matriz não nulos de um operador vetorial na base {|jm>} a partir de propriedades de rotação.
Nessa aula discutimos sistemas que podem ser descritos pelo Hamiltoniano de um oscilador harmônico livre e encontramos os autovetores e autovalores desse sistema, construindo assim o espectro livre. Definimos os operadores de abaixamento e levantamento que nos auxiliam a construir os estados estacionários e a calcular o valor esperado de diversos observáveis. Em seguida, consideramos o Hamiltoniano que descreve um oscilador forçado. Encontramos as equações de Heisenberg para o operador de abaixamento e a solução dessa equação. Introduzimos o operador deslocamento que nos auxilia a descrever a evolução temporal do operador de abaixamento. Construimos o estado fundamental evoluído no tempo sob ação do potencial de um oscilador harmônico forçado.
Discutimos sistemas que podem ser descritos pelo Hamiltoniano de um oscilador harmônico livre e encontramos os autovetores e autovalores desse sistema, construindo assim o espectro livre. Definimos os operadores de abaixamento e levantamento que nos auxiliam a construir os estados estacionários e a calcular o valor esperado de diversos observáveis. Em seguida, consideramos o Hamiltoniano que descreve um oscilador forçado. Encontramos as equações de Heisenberg para o operador de abaixamento e a solução dessa equação. Introduzimos o operador deslocamento que nos auxilia a descrever a evolução temporal do operador de abaixamento. Construimos o estado fundamental evoluído no tempo sob ação do potencial de um oscilador harmônico forçado.
Nesta aula definimos estados coerentes, que são estados particulares do oscilador harmônico cujo valor esperado dos operadores de coordenada e momento tem evolução temporal semelhante à evolução clássica. Esses estados tem a propriedade de que as incertezas na posição e momento saturam a relação de incerteza de Heisenberg, o que é uma propriedade conservada pela evolução temporal do estado. Desenvolvemos aqui o formalismo de Glauber construindo os estados coerentes, autoestados do operador de abaixamento 𝑎, deslocando o estado fundamental do oscilador harmônico livre usando o operador deslocamento 𝐷(𝑧). Discutimos também o caso de uma partícula carregada em um campo magnético estático e uniforme e mostramos como esse problema se relaciona ao de um oscilador harmônico unidimensional
Nesta aula definimos estados coerentes, que são estados particulares do oscilador harmônico cujo valor esperado dos operadores de coordenada e momento tem evolução temporal semelhante à evolução clássica. Esses estados tem a propriedade de que as incertezas na posição e momento saturam a relação de incerteza de Heisenberg, o que é uma propriedade conservada pela evolução temporal do estado. Desenvolvemos aqui o formalismo de Glauber construindo os estados coerentes, autopsiados do operador de abaixamento a, deslocando o estado fundamental do oscilador harmônico livre usando o operador deslocamento. Discutimos também o caso de uma partícula carregada em um campo magnético estático e uniforme e mostramos como esse problema se relaciona ao de um oscilador harmônico unidimensional.
Nessa aula discutimos o problema de uma partícula carregada em um campo magnético estático e uniforme no gauge simétrico. Encontramos os auto-estados simultâneos do Hamiltoniano no plano transversal à direção do campo magnético e de momento angular 𝐿𝑧. Mostramos que existem infinitos estados para cada nível da Landau. Discutimos o mesmo problema usando estados coerentes, sem a necessidade da escolha de um gauge particular. Calculamos no gauge simétrico as funções de onda dos estados fundamentais do sistema e mostramos que elas tem as propriedades esperadas, em particular, que são autoestados de 𝐿𝑧.
Nessa aula discutimos o problema de uma partícula carregada em um campo magnético estático e uniforme no gauge simétrico. Encontramos os auto-estados simultâneos do Hamiltoniano no plano transversal à direção do campo magnético e de momento angular Lz. Mostramos que existem infinitos estados para cada nível da Landau. Discutimos o mesmo problema usando estados coerentes, sem a necessidade da escolha de um gauge particular. Calculamos no gauge simétrico as funções de onda dos estados fundamentais do sistema e mostramos que elas tem as propriedades esperadas, em particular, que são autoestados de Lz.
Nessa aula estudamos o problema de dois corpos com um potencial central em Mecânica Quântica. Mostramos como podemos separar o problema em dois: o do Hamiltoniano do centro de massa e o do Hamiltoniano relativo. Como o problema do centro de massa se reduz a o de uma partícula livre com a massa e momento total do sistema composto, discutimos também como descrever uma partícula livre usando a base de ondas planas (autoestados simultâneos das três componentes do momento da partícula) ou usando a base de autoestados simultâneos da energia, momento angular orbital 𝐿2 e projeção 𝐿𝑧 do momento angular orbital da partícula. Voltando ao problema de dois corpos, consideramos o sistema relativo também nessa base. Essa formulação se presta tanto ao estudo de espalhamento como o de sistemas ligados. A simetria de rotação permite mostrar que a única parte ainda não resolvida do problema é a que diz respeito a função de onda radial.
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