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Nesta aula trabalhamos o conceito de compacidade sequencial como propriedade topológica. Demonstramos que todo espaço sequencialmente compacto é totalmente limitado, e mostramos, usando um contraexemplo, que nem todo espaço limitado e fechado é sequencialmente compacto. Caracterizamos a compacidade sequencial para subconjuntos de R^n, e provamos o Teorema do Valor Extremo. Finalmente, demonstramos que toda função contínua cujo domínio é sequencialmente compacto é uniformemente contínua.
Definição, conjuntos abertos, fechados, vizinhanças, pontos de acumulação, compactos, conexos. Sequências numéricas: convergência. Caracterização de aberto, fechado e ponto de acumulação por sequências, relação entre compacto e sequencialmente compacto. Sequências de Cauchy. Completude. Funções contínuas. Caracterização de continuidade por sequência. Preservação de compactos e conexos por função contínua.
Generalizar o conceito de distância euclidiana. Estabelecer o conceito de funções entre espaços métricos. Reconhecer as equivalências isométricas e topológicas entre tais espaços. Reconhecer as propriedades de conexidade e compacidade, bem como suas invariâncias por continuidade. Estabelecer propriedades dos espaços métricos completos.