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Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos

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Sobre a aula

A 5ª aula do minicurso apresenta a teoria dos anéis C^∞ enquanto teoria de Lawvere (algébrica) na sua formulação funtorial e enquanto morfismo de esboços. Apresentamos o conceito de anel local e oferecemos uma noção de como interpretá-lo em um topos de Grothendieck.
Apresentamos o conceito de anel C^∞ local e alguns tópicos da Álgebra Comutativa Suave, como a construção do anel C^∞ de frações, o conceito de saturação C^∞ e o de radical C^∞ de um ideal. - conceito este que vem a generalizar o conceito do radical de um ideal de anel comutativo com unidade.
Cotejamos alguns conceitos da Álgebra Comutativa Suave com os da Álgebra Comutativa comum, introduzindo os conceitos análogos de "espectro de Zariski suave", "topologia de Grothendieck suave" entre outros.
Na parte final, introduzimos a noção de topos classificante de uma teoria funtorial e apresentamos a construção de um topos de pré-feixes que classifica a teoria dos anéis C^∞ e do topos de Zariski suave, que lançando mão de construções da Álgebra Comutativa Suave, classifica a teoria dos anéis C^∞ locais.

Disciplina

MAT5697-1 Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos

EMENTA

- Introdução à Geometria Diferencial Sintética: o axioma de Kock-Lawvere e suas consequências. Formulação sintética dos conceitos de vetores, espaços e campos vetoriais tangentes, k-formas diferenciais, conexão afim e microfluxos. Axiomas de integração.
- Introdução do conceito de anel Cꝏ nas formas funtorial e da Álgebra Universal. Construções envolvendo anéis Cꝏ: o anel Cꝏ de frações, suas propriedades e caracterizações.
- Exemplos de topoi que validam axiomas da GDS: topoi de feixes, topos de Zariski liso e topos de Dubuc. Tópicos sobre Álgebra Comutativa Suave.

Objetivo

Introduzir o aluno à Geometria Diferencial Sintética (GDS), apresentando formulações axiomáticas que permitem uma descrição simplificada de diversos objetos e conceitos da Geometria Diferencial como, por exemplo, o “axioma de Kock-Lawvere” e suas consequências, oferecendo-lhe um outro ponto de vista sobre o estudo das variedades suaves. Apresentar ao aluno o conceito de anel Cꝏ ,tanto na forma da Álgebra Universal como na forma funtorial (de teoria de Lawvere), demonstrando a conveniência de seu emprego na construção de modelos para GDS e apresentando resultados originais sobre esses anéis.

Índice de vídeos da disciplina

1. Aula 1 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos
2. Aula 2 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos
3. Aula 3 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos
4. Aula 4 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos
5. Aula 5 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos
6. Aula 6 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos

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