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Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos

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Sobre a aula

Na presente aula introduzimos o conceito de anel C^∞ como uma generalização do conceito de anel comutativo com unidade mediante a linguagem da Álgebra Universal. Apresentamos a categoria dos anéis C^∞ , a dos anéis C^∞ finitamente gerados e a dos loci, mostrando em seguida como ``mergulhar'' a categoria das variedades suaves nessa de modo pleno, fiel e a preservar pullbacks transversais. Apesar de conter uma "cópia" razoável da categoria das variedades suaves, a categoria dos loci não é um topos, de modo que faltam-nos construções.
Com o fito de trabalhar em um topos, construímos a categoria de pré-feixes em Sets, que modela um fragmento considerável da Geometria Diferencial Sintética. Da necessidade de linguagem para enunciar propriedades do objeto anel do tipo linha vem a ideia de tomar um topos de feixes sobre algum sítio adequado envolvendo anéis C^∞.
Introduzimos noções sobre semântica em toposes de Grothendieck, apresentamos o conceito de anel C^∞ germe-determinado, constituintes de uma categoria G, que munimos de uma pré-topologia de Grothendieck. O topos de feixes sobre este sítio, conhecido como o topos de Dubuc, é um modelo para a Geometria Diferencial Sintética.

Disciplina

MAT5697-1 Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos

EMENTA

- Introdução à Geometria Diferencial Sintética: o axioma de Kock-Lawvere e suas consequências. Formulação sintética dos conceitos de vetores, espaços e campos vetoriais tangentes, k-formas diferenciais, conexão afim e microfluxos. Axiomas de integração.
- Introdução do conceito de anel Cꝏ nas formas funtorial e da Álgebra Universal. Construções envolvendo anéis Cꝏ: o anel Cꝏ de frações, suas propriedades e caracterizações.
- Exemplos de topoi que validam axiomas da GDS: topoi de feixes, topos de Zariski liso e topos de Dubuc. Tópicos sobre Álgebra Comutativa Suave.

Objetivo

Introduzir o aluno à Geometria Diferencial Sintética (GDS), apresentando formulações axiomáticas que permitem uma descrição simplificada de diversos objetos e conceitos da Geometria Diferencial como, por exemplo, o “axioma de Kock-Lawvere” e suas consequências, oferecendo-lhe um outro ponto de vista sobre o estudo das variedades suaves. Apresentar ao aluno o conceito de anel Cꝏ ,tanto na forma da Álgebra Universal como na forma funtorial (de teoria de Lawvere), demonstrando a conveniência de seu emprego na construção de modelos para GDS e apresentando resultados originais sobre esses anéis.

Índice de vídeos da disciplina

1. Aula 1 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos
2. Aula 2 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos
3. Aula 3 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos
4. Aula 4 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos
5. Aula 5 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos
6. Aula 6 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos

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