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Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos

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Sobre a aula

Na terceira aula apresentamos 6 axiomas para a Geometria Diferencial Sintética e alguns conceitos fundamentais para a compreensão de seus modelos: os conceitos de categoria cartesiano-fechada, subobjeto, classificador de subobjetos, topos, dentre outros. Apresentamos um modo de munir da estutura de álgebra de Heyting e como interpretar o cálculo proposicional em um topos.Definimos (brevemente) o que são feixes sobre um espaço topológico, o que é uma pré-topologia e uma topologia de Grothendieck e o que é um feixe sobre um sítio. Justificamos a incompatibilidade do Axioma de Kock-Lawvere com a estrutura de álgebra de Boole de Sub(D), e apresentamos um topos de pré-feixes que serve de modelo, segundo Dubuc, para a Geometria Diferencial Sintética.Apresentamos um topos que

Disciplina

MAT5697-1 Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos

EMENTA

- Introdução à Geometria Diferencial Sintética: o axioma de Kock-Lawvere e suas consequências. Formulação sintética dos conceitos de vetores, espaços e campos vetoriais tangentes, k-formas diferenciais, conexão afim e microfluxos. Axiomas de integração.
- Introdução do conceito de anel Cꝏ nas formas funtorial e da Álgebra Universal. Construções envolvendo anéis Cꝏ: o anel Cꝏ de frações, suas propriedades e caracterizações.
- Exemplos de topoi que validam axiomas da GDS: topoi de feixes, topos de Zariski liso e topos de Dubuc. Tópicos sobre Álgebra Comutativa Suave.

Objetivo

Introduzir o aluno à Geometria Diferencial Sintética (GDS), apresentando formulações axiomáticas que permitem uma descrição simplificada de diversos objetos e conceitos da Geometria Diferencial como, por exemplo, o “axioma de Kock-Lawvere” e suas consequências, oferecendo-lhe um outro ponto de vista sobre o estudo das variedades suaves. Apresentar ao aluno o conceito de anel Cꝏ ,tanto na forma da Álgebra Universal como na forma funtorial (de teoria de Lawvere), demonstrando a conveniência de seu emprego na construção de modelos para GDS e apresentando resultados originais sobre esses anéis.

Índice de vídeos da disciplina

1. Aula 1 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos
2. Aula 2 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos
3. Aula 3 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos
4. Aula 4 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos
5. Aula 5 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos
6. Aula 6 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos

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