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Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos

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Sobre a aula

Nesta aula apresentamos uma outra possibilidade de Geometria Diferencial, a sintética (ou seja, baseada em axiomas e no método lógico-dedutivo). Apresentamos um curto resumo histórico do conceito de variedade suave até sua formulação moderna ( espaço topológico de Hausdorff, com base enumerável, localmente n-euclidiano e munido de um atlas de classe Cⁿ ), e apontamos algumas deficiências que a categoria das variedades suaves e seus morfismos, Man, apresenta em termos de construções (pullbacks, exponenciais, linguagem para lidar diretamente com "infinitésimos" etc.).Na sequência, apresentamos as propriedades que uma categoria, S, deveria ter a fim de que nela possamos formular conceitos da Geometria Diferencial de forma mais direta - e denominamos esta categoria por "categoria dos espaços suaves". Enunciamos o primeiro axioma da Geometria Diferencial Sintética, o Axioma de Kock-Lawvere, e apresentamos algumas de suas consequências.

Disciplina

MAT5697-1 Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos

EMENTA

- Introdução à Geometria Diferencial Sintética: o axioma de Kock-Lawvere e suas consequências. Formulação sintética dos conceitos de vetores, espaços e campos vetoriais tangentes, k-formas diferenciais, conexão afim e microfluxos. Axiomas de integração.
- Introdução do conceito de anel Cꝏ nas formas funtorial e da Álgebra Universal. Construções envolvendo anéis Cꝏ: o anel Cꝏ de frações, suas propriedades e caracterizações.
- Exemplos de topoi que validam axiomas da GDS: topoi de feixes, topos de Zariski liso e topos de Dubuc. Tópicos sobre Álgebra Comutativa Suave.

Objetivo

Introduzir o aluno à Geometria Diferencial Sintética (GDS), apresentando formulações axiomáticas que permitem uma descrição simplificada de diversos objetos e conceitos da Geometria Diferencial como, por exemplo, o “axioma de Kock-Lawvere” e suas consequências, oferecendo-lhe um outro ponto de vista sobre o estudo das variedades suaves. Apresentar ao aluno o conceito de anel Cꝏ ,tanto na forma da Álgebra Universal como na forma funtorial (de teoria de Lawvere), demonstrando a conveniência de seu emprego na construção de modelos para GDS e apresentando resultados originais sobre esses anéis.

Índice de vídeos da disciplina

1. Aula 1 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos
2. Aula 2 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos
3. Aula 3 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos
4. Aula 4 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos
5. Aula 5 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos
6. Aula 6 de Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos

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