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Jean Cerqueira Berni

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Nesta aula apresentamos a construção do completamento de um espaço métrico, e provamos sua unicidade a menos de isomorfismos. Aplicamos esta construção a um estudo mais aprofundado da função exponencial.
Nesta aula apresentamos o problema da extensão de funções contínuas e uniformemente contínuas, bem como o da extensão de homeomorfismos uniformes e de isometrias. Começamos, também, a construção do completamento de um espaço métrico.
Apresentamos a definição de completude de um espaço métrico, provando a completude de R, do espaço métrico dos números reais com a métrica usual. Estudamos a completude do produto de espaços métricos, e demonstramos que subespaços fechados de espaços completos são completos. Finalmente, provamos que espaços métricos compactos são completos.
Nesta aula provamos que conexidade não implica em conexidade por caminhos. Apresentamos a definição e damos exemplos de sequências de Cauchy. Provamos que toda sequência convergente é de Cauchy, e que toda sequência de Cauchy é limitada. Provamos que a limitação de uma sequência não garante que esta seja de Cauchy. Apresentamos diversas propriedades de subsequências de uma sequência de Cauchy. Relacionamos continuidade uniforme com sequências de Cauchy, e estudamos sequências de Cauchy no espaço produto.
Apresentamos a noção de conexidade por caminhos e suas relações com a noção de conexidade. Enunciamos, discutimos e demonstramos o Teorema da Alfândega, e apresentamos o número de componentes conexas como invariante topológico.
Nesta aula estudamos a conexidade de espaços métricos, e especificamente os subconjuntos conexos da reta real. Enunciamos e demonstramos o Teorema do Valor Intermediário, e caracterizamos a conexidade em termos da existência de sobrejeção contínua em {0,1}. Finalmente, estudamos a preservação da conexidade por funções contínuas.
Nesta aula apresentamos a definição de conexidade de espaços métricos, apresentando alguns exemplos.
Nesta aula apresentamos a distância entre subconjuntos sequencialmente compactos e as especificidades em calculá-la. Introduzimos o conceito de coberturas abertas, bem como o de subcobertura aberta. Enunciamos a propriedade de Heine-Borel e demonstramos que, para espaços métricos, ter a propriedade de Heine-Borel equivale à compacidade sequencial.
Nesta aula trabalhamos o conceito de compacidade sequencial como propriedade topológica. Demonstramos que todo espaço sequencialmente compacto é totalmente limitado, e mostramos, usando um contraexemplo, que nem todo espaço limitado e fechado é sequencialmente compacto. Caracterizamos a compacidade sequencial para subconjuntos de R^n, e provamos o Teorema do Valor Extremo. Finalmente, demonstramos que toda função contínua cujo domínio é sequencialmente compacto é uniformemente contínua.
Na presente aula introduzimos a noção de compacidade sequencial, mostrando, em seguida, se tratar de uma propriedade topológica - ou seja, de uma propriedade preservada por homeomorfismos. Mostramos que subconjuntos fechados de conjuntos compactos são compactos, e que todo subconjunto sequencialmente compacto de um espaço métrico é fechado. Finalmente, apresentamos resultados acerca da compacidade do produto cartesiano de espaços sequencialmente compactos.
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