Seja X um espação de Hausdorff compacto, seja H um espaço de Hilbert de dimensão infinita, e denotemos por F(H) o conjunto dos operadores de Fredholm, que é um aberto de B(H), o espaço de Banach de todos os operadores limitados em H. O principal objetivo do curso é demonstrar o teorema de Atiyah-Jänich, que estabelece um isomorfismo natural, chamado de "índice de famílias", entre as classes de homotopia de funções contínuas de X em F(H), conjunto que é inicialmente munido apenas de uma estrutura de semigrupo possivelmente não-comutativo, e o grupo abeliano K(X) associado ao semigrupo das classes de isomorfismo de fibrados vetoriais complexos sobre X (a adição é definida pela soma Whitney).
Introduzir o aluno à Geometria Diferencial Sintética (GDS), apresentando formulações axiomáticas que permitem uma descrição simplificada de diversos objetos e conceitos da Geometria Diferencial como, por exemplo, o axioma de Kock-Lawvere e suas consequências, oferecendo-lhe um outro ponto de vista sobre o estudo das variedades suaves. Apresentar ao aluno o conceito de anel Cꝏ ,tanto na forma da Álgebra Universal como na forma funtorial (de teoria de Lawvere), demonstrando a conveniência de seu emprego na construção de modelos para GDS e apresentando resultados originais sobre esses anéis.
Estudar integrais suplas e triplas e aplicacoes. Estudar integracao sobre curvas e superficies de campos escalares e vetoriais. Teorema de Gauss, stokes e green. Apreender sobre equacoes diferenciais ordinarias de coeficientes constantes homogeneas.
Generalizar o conceito de distância euclidiana. Estabelecer o conceito de funções entre espaços métricos. Reconhecer as equivalências isométricas e topológicas entre tais espaços. Reconhecer as propriedades de conexidade e compacidade, bem como suas invariâncias por continuidade. Estabelecer propriedades dos espaços métricos completos.
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Matemática
