Nessa aula recapitulamos algumas ideias matemáticas importantes e necessárias para desenvolver a descrição de sistemas físicos na mecânica quântica : a noção de espaço de Hilbert, operadores lineares (hermitianos, anti-hermitianos, unitários, simétricos), projetores e bases de representação.

Aula online de Mecânica Quântica I. Quantização Canônica e simetrias, função de onda de Schrödinger

Nessa aula revisitamos os postulados I, II e III da Mecânica Quântica no contexto de um estado representado por um vetor do espaço dos estados e no contexto mais geral de um operador estatístico. Definimos o operador estatístico e suas propriedades.

Nessa aula discutimos além das relações de incerteza na Mecânica Quântica, duas descrições da evolução temporal na Mecânica Quântica a descrição de Schrödinger e a descrição de Heisenberg.

Nessa aula definimos o espaço produto tensorial de dois espaços de Hilbert H1 e H2, e vetores desse espaço que são produto tensorial de vetores de H1 e H2. Mostramos que nem todos vetores do espaço produto tensorial são do tipo produto tensorial de vetores de H1 e H2, quando isso não ocorre chamamos esses estados de estados emaranhados. Finalmente discutimos como estados emaranhados de um sistema bipartite se relacionam com um operador estatístico global (do sistema todo) e parcial.

Nessa aula discutimos a evolução temporal de sistemas quânticos quando H=H(t).Introduzimos a expansão de Dyson, preparando para teoria de perturbação. Definimos propagador como o kernel da equação integral de Schrödinger quando H=H(t) e mostramos que no caso de H não depender do tempo o kernel da equação é a função de Green. Calculamos, como exemplo, o propagador de um sistema de partículas livres.

Na primeira parte da aula retomamos o formalismo de matriz densidade no caso de um sistema bipartite na representação das coordenadas. Mostramos que em geral a matriz densidade reduzida do sistema 1 não pode representar um estado puro. Na segunda parte da aula introduzimos a quantização canônica entre os operadores de coordenadas e momentos. Argumentamos como essas relações são em grande parte determinadas por argumentos de simetria. Mostramos que os operadores das coordenadas e dos momentos têm, em geral, espectro contínuo. Calculamos os elementos de matrix de alguns operadores na representação de coordenadas e momentos.

Discutimos aqui o formalismo de integrais de caminho, e como aplicativo-lo para construir o propagador.

Nessa aula discutimos simetrias na Mecânica Quântica, simetrias contínuas como de translação e rotação implementadas por operadores unitários e induzidas por geradores de grupos de Lie e simetrias discretas, também implementadas por operadores unitários, como a simetria de reflexão espacial. Definimos o que são os operadores de momento angular na Mecânica Quântica assim como o que são operadores escalares e vetoriais. Discutimos quando operadores são ligados a quantidades conservadas.

Nessa aula discutimos a evolução temporal de sistemas quânticos quando 𝐻=𝐻(𝑡).Introduzimos a expansão de Dyson, preparando para teoria de perturbação. Definimos propagador como o kernel da equação integral de Schrödinger quando 𝐻=𝐻(𝑡) e mostramos que no caso de 𝐻 não depender do tempo o kernel da equação é a função de Green. Calculamos, como exemplo, o propagador de um sistema de partículas livres.