Seja X um espação de Hausdorff compacto, seja H um espaço de Hilbert de dimensão infinita, e denotemos por F(H) o conjunto dos operadores de Fredholm, que é um aberto de B(H), o espaço de Banach de todos os operadores limitados em H. O principal objetivo do curso é demonstrar o teorema de Atiyah-Jänich, que estabelece um isomorfismo natural, chamado de "índice de famílias", entre as classes de homotopia de funções contínuas de X em F(H), conjunto que é inicialmente munido apenas de uma estrutura de semigrupo possivelmente não-comutativo, e o grupo abeliano K(X) associado ao semigrupo das classes de isomorfismo de fibrados vetoriais complexos sobre X (a adição é definida pela soma Whitney).