Nesta aula apresentamos uma outra possibilidade de Geometria Diferencial, a sintética (ou seja, baseada em axiomas e no método lógico-dedutivo). Apresentamos um curto resumo histórico do conceito de variedade suave até sua formulação moderna ( espaço topológico de Hausdorff, com base enumerável, localmente n-euclidiano e munido de um atlas de classe Cⁿ ), e apontamos algumas deficiências que a categoria das variedades suaves e seus morfismos, Man, apresenta em termos de construções (pullbacks, exponenciais, linguagem para lidar diretamente com "infinitésimos" etc.).Na sequência, apresentamos as propriedades que uma categoria, S, deveria ter a fim de que nela possamos formular conceitos da Geometria Diferencial de forma mais direta - e denominamos esta categoria por "categoria dos espaços suaves". Enunciamos o primeiro axioma da Geometria Diferencial Sintética, o Axioma de Kock-Lawvere, e apresentamos algumas de suas consequências.

Nesta aula apresentamos a definição, calcada no Axioma de Kock-Lawvere, da derivada de uma função, exibimos exemplos e demonstramos algumas regras de derivação, como a regra da derivação da soma e do produto. Cotejamos alguns conceitos centrais da Geometria Diferencial dados nos âmbitos analítico e sintético, quais sejam, os de vetor, espaço e fibrado tangente, o de k-forma diferencial, campos vetoriais tangentes e conexão afim. Encerramos apresentando uma estrutura de pré-ordem no anel do tipo linha, R, que nos permite definir sinteticamente o processo de integração.

Na terceira aula apresentamos 6 axiomas para a Geometria Diferencial Sintética e alguns conceitos fundamentais para a compreensão de seus modelos: os conceitos de categoria cartesiano-fechada, subobjeto, classificador de subobjetos, topos, dentre outros. Apresentamos um modo de munir da estutura de álgebra de Heyting e como interpretar o cálculo proposicional em um topos.Definimos (brevemente) o que são feixes sobre um espaço topológico, o que é uma pré-topologia e uma topologia de Grothendieck e o que é um feixe sobre um sítio. Justificamos a incompatibilidade do Axioma de Kock-Lawvere com a estrutura de álgebra de Boole de Sub(D), e apresentamos um topos de pré-feixes que serve de modelo, segundo Dubuc, para a Geometria Diferencial Sintética.Apresentamos um topos que

Na presente aula introduzimos o conceito de anel C^∞ como uma generalização do conceito de anel comutativo com unidade mediante a linguagem da Álgebra Universal. Apresentamos a categoria dos anéis C^∞ , a dos anéis C^∞ finitamente gerados e a dos loci, mostrando em seguida como ``mergulhar'' a categoria das variedades suaves nessa de modo pleno, fiel e a preservar pullbacks transversais. Apesar de conter uma "cópia" razoável da categoria das variedades suaves, a categoria dos loci não é um topos, de modo que faltam-nos construções. Com o fito de trabalhar em um topos, construímos a categoria de pré-feixes em Sets, que modela um fragmento considerável da Geometria Diferencial Sintética. Da necessidade de linguagem para enunciar propriedades do objeto anel do tipo linha vem a ideia de tomar um topos de feixes sobre algum sítio adequado envolvendo anéis C^∞. Introduzimos noções sobre semântica em toposes de Grothendieck, apresentamos o conceito de anel C^∞ germe-determinado, constituintes de uma categoria G, que munimos de uma pré-topologia de Grothendieck. O topos de feixes sobre este sítio, conhecido como o topos de Dubuc, é um modelo para a Geometria Diferencial Sintética.

A 5ª aula do minicurso apresenta a teoria dos anéis C^∞ enquanto teoria de Lawvere (algébrica) na sua formulação funtorial e enquanto morfismo de esboços. Apresentamos o conceito de anel local e oferecemos uma noção de como interpretá-lo em um topos de Grothendieck. Apresentamos o conceito de anel C^∞ local e alguns tópicos da Álgebra Comutativa Suave, como a construção do anel C^∞ de frações, o conceito de saturação C^∞ e o de radical C^∞ de um ideal. - conceito este que vem a generalizar o conceito do radical de um ideal de anel comutativo com unidade. Cotejamos alguns conceitos da Álgebra Comutativa Suave com os da Álgebra Comutativa comum, introduzindo os conceitos análogos de "espectro de Zariski suave", "topologia de Grothendieck suave" entre outros. Na parte final, introduzimos a noção de topos classificante de uma teoria funtorial e apresentamos a construção de um topos de pré-feixes que classifica a teoria dos anéis C^∞ e do topos de Zariski suave, que lançando mão de construções da Álgebra Comutativa Suave, classifica a teoria dos anéis C^∞ locais.

Nesta última aula do minicurso apresentamos diversos conceitos da Geometria Diferencial formulados em termos de um conceito primitivo de "pares de pontos infinitesimalmente próximos". Definimos as noções de k-simplexos infinitesimais, k-formas diferenciais com valores em um grupo, curvatura, conexão afim, transporte paralelo e envelope de uma família de "curvas", apresentando conceitos elaborados por Anders Kock. Finalizamos apresentando uma revisão dos principais tópicos abordados no minicurso.