Nesta aula apresentamos um curto resumo histórico da teoria dos Espaços Métricos e introduzimos os conceitos preliminares necessários a um bom aproveitamento do curso: relações abstratas, relações planas e funções.

Nesta aula abordamos o conceito de vizinhança de um subconjunto, de ponto isolado e espaço discreto. Em contraposição, vemos também o conceito de conjunto derivado e suas propriedades. Apresentamos a definição do fecho de um conjunto e, munidos desta, apresentamos a de conjunto fechado. Finalmente, caracterizamos o fecho de um conjunto como o menor conjunto fechado que o contém e caracterizamos um conjunto como fechado se, e somente se, for complementar de um conjunto aberto.

Nesta aula complementamos a abordagem sobre o fecho de um conjunto e a noção de conjunto fechado, e descrevemos suas principais propriedades. Apresentamos a definição de conjunto denso e a definição de fronteira de um conjunto.

Nesta aula introduzimos o conceito de sequência em espaços métricos e o de subsequências. Apresentamos a definição formal de limite de uma sequência e sequência convergente, e provamos que o limite, quando existe, é único. Apresentamos, também, propriedades de subsequências de sequências convergentes.

Nesta aula estudamos a convergência das sequências monótonas e limitadas em IR, apresentando e fazendo uso das noções de limite inferior (liminf) e limite superior (limsup). Generalizamos a noção de convergência de sequências para espaços vetoriais (reais ou complexos) normados, onde podemos "operar" com sequências: apresentamos a soma de sequências e suas propriedades e o produto de sequências por um escalar.

Nesta aula abordamos o conceito de função contínua em um ponto e, em seguida, estendemos o conceito para conjuntos. Apresentamos a definição de função descontínua e damos diversos exemplos. Como exemplos de funções contínuas, apresentamos as imersões isométricas, as contrações fracas, as funções lipschitzianas e localmente lipschitzianas, bem como as funções que são contínuas em cada parte limitada de um espaço métrico.

Nesta aula caracterizamos a continuidade em termos de subconjuntos abertos e em termos de subconjuntos fechados. Nós também caracterizamos continuidade em termos de sequências e estudamos a continuidade de transformações lineares entre espaços vetoriais normados. Introduzimos o conceito de continuidade uniforme e apresentamos alguns exemplos.

Nesta aula apresentamos o conceito de continuidade uniforme em espaços com com métricas distintas no mesmo conjunto domínio e no mesmo conjunto co-domínio.

Nesta aula abordamos os seguintes tópicos: Propriedades de funções uniformemente contínuas: a composição de funções uniformemente contínuas é uniformemente contínua. A restrição de uma função uniformemente contínua é uniformemente contínua. Toda função uniformemente contínua definida em um intervalo real limitado é limitada. Caracterização de continuidade uniforme em termos de sequências. Homeomorfismos. Propriedades topológicas.

Nesta aula abordamos o conceito central de 'homeomorfismo'. Apresentamos diversos exemplos: intervalos abertos, bolas abertas em espaços vetoriais, projeção estereográfica, homeomorfismo entre o plano perfurado e o cilindro circular e um homeomorfismo entre o cilindro circular e o hiperboloide de uma folha.