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Nesta aula, apresentamos os teoremas fundamentais de convergência conhecidos como Lema de Fatou e Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, bem como um corolário conhecido como Teorema de Beppo-Levi. Em seguida, examinamos os diversos modos de convergência de sequências de funções mensuráveis.
1. Medida Abstrata.
2. Medida exterior e mensurabilidade. A integral de Lebesgue.
3. O teorema de extensão.
4. Os teoremas de Egoroff e Lusin.
5. Integração.
6. Relação entre as integrais de Lebesgue e de Riemann própria e imprópria.
7. Teoremas de Convergência.
8. Medida Produto. O teorema de Fubini.
9. Medidas com sinal e medidas complexas.
10. Continuidade absoluta.
11. Teoremas de Decomposição.
12. O teorema de Radon-Nikodym.
13. O teorema de diferenciação de Lebesgue. O Teorema Fundamental do Cálculo para a Integral de Lebesgue.
14. Os espaços Lp.
15. O dual dos espaços Lp, p maior ou igual a 1 e p menor que mais infinito.
16. O teorema de representação de Riesz (o dual de Co(X)).
17. Séries trigonométricas. Convergência em L2 das séries de Fourier.
18. Transformada de Fourier. Produto de Convolução. Aplicação às Equações Diferenciais Parciais.