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V31 Semelhança de Triângulos por Homotetia no Geogebra. Cevianas e critério de paralelismo

por Juan Lopez Linares

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Sobre a aula

Se estudam semelhanças de triângulos em que é usada uma Homotetia. Transformação de ampliação ou a redução de distâncias (pelo fator k) e áreas (pelo fator k^2) a partir de um ponto fixo, O. Um ponto P é transformado em P' pela lei OP'=k OP. A homotetia preserva: os ângulos, as razões entre os segmentos de reta e o paralelismo. Se mostra um método para provar que dois segmentos são paralelos. Este vídeo está incluído na playlist Geometria com Geogebra. Mais em https://www.youtube.com/watch?v=HNL9WMgRyxI&list=PL8v7luSb9qi6tg7XIcqfG_hT-qU-r4qS_&index=30.

Disciplina

740400029 Matemática para Olimpíadas e Vestibulares

EMENTA

Será usado o software gratuito Geogebra para discutir e resolver problemas relacionados com:

- Congruência de triângulos
- Razão de segmentos
- Semelhança de triângulos
- Quadriláteros Notáveis
- Ângulos na Circunferência
- Quadriláteros Inscritíveis
- Teorema de Ptolomeu
- Relações métricas no triângulo
- Potência de ponto e eixo radical
- Áreas

Bibliografia

A. C. Neto, Geometria, Coleção ProfMat, Sociedade Brasileira de
Matemática, 2013, Primeira Edição, 417 páginas, disponível em
https://loja.sbm.org.br/index.php/sbm/colecao-profmat/geometria.html.
Acesso em 14/12/2019.

B. Holanda, R. Pinheiro e C. Thiago, Curso de Geometria, Polos
Olímpicos de Treinamento Intensivo, Nível II, disponível em
https://www.dropbox.com/sh/c658cq0nl8v240f/AABtRuIrvq7wStFXqpquzuLNa/Aulas%20N%C3%ADvel%202/GEON2?dl=0&subfolder_nav_tracking=1.
Acesso em 14/12/2019.

J. López, Construções passo a passo de Geometria Olímpica, Livro
Geogebra, 111 construções em 15/11/2019, disponível em
https://www.geogebra.org/m/vsfydv2v. Acesso em 14/12/2019.

J. López, Outras Construções Geométricas, Livro Geogebra, 26
construções em 15/11/2019, disponível em
https://www.geogebra.org/m/vsfydv2v. Acesso em 14/12/2019.

A. O. Pellegrino, Playlist de Vídeo-Aulas, Geometria para Olimpíadas
(Ensino Fundamental e Médio), disponível em
https://www.youtube.com/watch?v=bahmzbij6_I&list=PL8v7luSb9qi4ICqVuba2CxAEXUH6u3vNi.
Acesso em 14/12/2019.

- Problemas elementares de divisibilidade que envolvam apenas as definições de
quociente e resto.
- Introdução formal à divisibilidade.
- Algoritmo de Euclides e Teorema de Bachet-Bézout.
- MMC e MDC.
- Números primos, números compostos e o Teorema Fundamental da Aritmética.
- Números primos, números compostos e o Teorema Fundamental da Aritmética.
- Problemas envolvendo a utilização do postulado de Bertrand.
- Congruências, bases de numeração e critérios de divisibilidade.
- Equações Diofantinas lineares.
- O teorema chinês dos restos.
- Ternos Pitagóricos.


Bibliografia

Abramo Hefez, Aritmética, Coleção ProfMat, Sociedade Brasileira de
Matemática, 2016, Segunda Edição, 330 páginas, disponível em
https://loja.sbm.org.br/index.php/aritmetica.html. Acesso em
14/12/2019.

Abramo Hefez, Exercícios Resolvidos de Aritmética, Coleção ProfMat,
Sociedade Brasileira de Matemática, 2016, Primeira Edição, 204
páginas, disponível em
https://loja.sbm.org.br/index.php/exercicios-resolvidos-de-aritmetica.html.
Acesso em 14/12/2019.

S. B. Feitosa, Curso de Teoria dos Números, Polos Olímpicos de
Treinamento Intensivo, Nível II, disponível em
https://www.dropbox.com/sh/c658cq0nl8v240f/AACc4-AIlxeqlSSGDErm0RuIa/Aulas%20N%C3%ADvel%202/TNN2?dl=0&subfolder_nav_tracking=1.
Acesso em 14/12/2019.

J. López, Playlist de Vídeo-Aulas, Teoria dos Números para Olimpíadas
(Ensino Fundamental e Médio), disponível em
https://www.youtube.com/watch?v=SetNKBxLgJQ&list=PL8v7luSb9qi7M-kELGLzuddf_t17cu4fl&t=9s&index=2.
Acesso em 14/12/2019.

F. H. T. de Souza, Playlist de Vídeo-Aulas, Aritmética , disponível em
https://www.youtube.com/watch?v=TazceeLIF4k&list=PLrVGp617x0hC8WkPHtM3IjoOiiyJs-hHh.
Acesso em 14/12/2019.

C. G. T. A. Moreira, Playlist de Vídeo-Aulas, Teoria dos Números Nível
2, disponível em
https://www.youtube.com/watch?v=2GYNf-c8dHY&list=PLYMD22oJpAr2jEtl9-AwOBA8ZU7sGneUN.
Acesso em 14/12/2019.

Objetivo

Incentivar e desenvolver habilidades na resolução de problemas de Matemática que aparecem em Olimpíadas e Vestibulares. Introduzir o uso do software gratuito Geogebra.

Índice de vídeos da disciplina

  1. V1 - Triângulo Isósceles e Pentágono Regular no Geogebra - FZEA - USP
  2. V2 - Construção da Mediatriz e o Ponto Médio entre dois Pontos - FZEA - USP
  3. V3 - Construção de Triângulos Acutângulos, Retângulos, Obtusângulos, Escalenos, Isósceles e Equiláteros - FZEA - USP
  4. V4 - Retas tangentes a uma circunferência passando por um ponto externo dado - FZEA - USP
  5. V5 Encontro online do dia 30-03-20 parte 1 FZEA USP
  6. V6 Tangente Externas a duas circunferências. Encontro online do dia 30-03-20 parte 2 FZEA USP
  7. V7 Tangentes Internas a duas circunferências. Encontro online do dia 30-03-20 parte 3 FZEA USP
  8. V8 Congruências na figura das retas tangentes a uma circunferência e ida do Teorema de Pitot - FZEA USP
  9. V9 IMO 1973 P4 Desigualdade Triangular Reflexão e Teorema de Pitágoras Parte 1 FZEA USP
  10. V10 Demonstração do Teorema de Pitágoras e Cálculo da Altura do Triângulo Equilátero FZEA USP
  11. V11 Base Média de um triângulo FZEA USP
  12. V12 Desigualdade Triangular e Lei da Reflexão - Geometria com Geogebra - FZEA USP
  13. V13 P4 IMO 1973 Desigualdade Triangular Reflexão Base Média - Geometria com Geogebra - FZEA USP
  14. V14 Circuncentro, circunraio e circunferência circunscrita a um triângulo - Geometria com Geogebra
  15. V15 Passos da construção da reta Bissetriz a um ângulo - Geometria com Geogebra - FZEA USP
  16. V16 Construção das Circunferências Inscrita e Ex-inscritas a um triângulo - Geometria com Geogebra
  17. V17 P3 IMO 1979 Congruência de Triângulos LAL Paralelogramo e Velocidade Angular - FZEA USP
  18. V18 Construção do Arco Capaz, ângulo inscrito, de segmento e central em uma circunferência - USP
  19. V19 Critérios de congruências de triângulos (LLL, ALA, LAL, CH, LAAo) e construções correspondentes
  20. V20 Teorema de Tales de um feixe de retas paralelas e duas transversais - Geometria com Geogebra
  21. V21 Divisão de um segmento em partes iguais. Aplicação do Teorema de Tales - Geometria com Geogebra
  22. V22 Teorema da Bissetriz Interna em um triângulo. Aplicação do Teorema de Tales - Geometria Geogebra
  23. V23 Teorema da Bissetriz Externa em um triângulo. Teorema de Tales - Geometria Geogebra - FZEA USP
  24. V24 Divisão Harmônica de um Segmento. Razão Áurea. Teorema da Bissetriz - Geometria com Geogebra-USP
  25. V25 Divisão de um segmento na razão ou proporção Áurea. Pentágono regular e estrela de cinco pontas
  26. V26 Demonstração que a circunferência de Apolônio de Perga é um lugar geométrico. T. da Bissetriz
  27. V27 Construção geométrica da circunferência de Apolônio de Perga - Teorema da Bissetriz - Geogebra
  28. V28 Resumão do Teorema da Bissetriz Interna e Externa. Divisão Harmônica. Circunferência de Apolônio
  29. V29 Demonstração da incomensurabilidade do lado e a diagonal de um quadrado. Prova por absurdo
  30. V30 Construção de uma Homotetia no Geogebra. Ampliação ou redução a partir de um ponto fixo
  31. V31 Semelhança de Triângulos por Homotetia no Geogebra. Cevianas e critério de paralelismo
  32. V32 Duas soluções para o desafio 1. Feixe com duas circunferências tangentes entre si e as retas
  33. V33 Prova de que a medida do ângulo central é duas vezes a do ângulo inscrito numa circunferência
  34. V34 Ângulos relativos a uma circunferência: de Segmento, Excêntrico Interior e Excêntrico Exterior
  35. V35 Duas construções geométricas envolvendo circunferências e retas tangentes. Uso da mediatriz.
  36. V36 P1 IMO 2018 Segmentos paralelos e ângulos excêntricos interiores, centrais e inscritos. Solução 1
  37. V37 Um quadrilátero é inscritível se e somente se a soma dos ângulos opostos é 180 graus - Geometria
  38. V38 Quatro pontos no plano que pertencem a uma circunferência determinam um quadrilátero inscritível
  39. V39 Trapézio isósceles formado por 4 pontos numa circunferência - Geometria com Geogebra -FZEA - USP
  40. V40 P1 IMO 2018 (Solução 2) Quadriláteros inscritíveis, paralelogramos e triângulos isósceles - USP
  41. V41 Demonstração da ida do Teorema de Ptolomeu - Geometria com Geogebra - FZEA - USP
  42. V42 Duas aplicações do Teorema de Ptolomeu - Teorema de Pitágoras como caso particular - FZEA - USP
  43. V43 Demonstração da Desigualdade de Ptolomeu - Teorema de Ptolomeu como caso particular - FZEA - USP
  44. V44 P11 SL IMO 1995 Teorema de Ptolomeu - Hexágono - Reflexão - Desigualdade Triangular - FZEA USP
  45. V45 Resumão das relações métricas no triângulo retângulo e sua circunferência circunscrita -FZEA USP
  46. V46 Definição de Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo - Circunferência Unitária - Semelhança - USP
  47. V47 Demonstração e exemplo da Lei dos Senos - Uso do raio da circunferência circunscrita - FZEA USP
  48. V48 P3 IGO 2017 E Desafio sobre pentágono regular e razão áurea maior - Geometria com Geogebra - USP
  49. V49 P4 NI IGO 2017 - Reflexão - Quadrilátero Inscritível - Desigualdade - Congruências de Triângulos
  50. V50 P1 NI IGO 2017 Cosseno e Seno de ângulos notáveis - Arco Capaz - Triângulo Acutângulo - FZEA USP
  51. V51 P1 NA IGO 2017 Circunferência inscrita ou incírculo, linha tangente e congruência de triângulos
  52. V52 Desafio das cinco circunferências tangentes dois a dois e a uma linha - Geometria com Geogebra
  53. V53 Solução do desafio das cinco circunferências tangentes dois a dois e a uma linha-T. de Pitágoras
  54. V54 Potência de um ponto relativo a uma circunferência e teorema das cordas - Invariante Geométrico
  55. V55 Desafio sobre potência de um ponto relativo a uma circunferência e teorema da bissetriz interna
  56. V56 P5 IMO 2012 Potência de um ponto relativo a uma circunferência e quadrilátero inscritível - USP
  57. V57 Construção de três circunferências tangentes externas dois a dois entre duas retas paralelas-USP
  58. V58 Segunda construção de três circunferências tangentes externas dois a dois entre duas paralelas
  59. V59 P15 SL IMO 1994 Circuncentro, tangências dois a dois de três circunferências e duas paralelas
  60. V60 Propriedades dos Arbelos e construção geométrica dos círculos gêmeos de Arquimedes - FZEA - USP
  61. V61 P1 E IGO 2019 Reflexões numa mesa de sinuca. Triângulos retângulos e isósceles. FZEA-USP.
  62. V62 P2 E IGO 2019 Pontos colineares, semelhança de triângulos, paralelogramo. Geometria com Geogebra
  63. Primeira parte-Encerramento da "XII Olimpíada de Matemática FZEA-USP (primeira virtual)"
  64. Segunda parte-Encerramento da "XII Olimpíada de Matemática FZEA-USP (primeira virtual)"
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