1
00:00:08,582 --> 00:00:12,174
As coordenadas cartesianas são as mais populares

2
00:00:12,717 --> 00:00:14,757
por serem as mais simples.

3
00:00:15,221 --> 00:00:17,989
Mas elas não são adequadas

4
00:00:18,429 --> 00:00:21,389
na resolução de alguns problemas de física.

5
00:00:21,966 --> 00:00:24,774
Nesses problemas nós devemos recorrer

6
00:00:25,294 --> 00:00:26,982
a outras coordenadas.

7
00:00:27,126 --> 00:00:29,029
Por exemplo, no movimento circular

8
00:00:29,485 --> 00:00:31,069
não usamos coordenadas cartesianas;

9
00:00:31,517 --> 00:00:34,085
no movimento dos planetas

10
00:00:34,477 --> 00:00:40,198
nós não fazemos uso das coordenadas cartesianas,

11
00:00:40,622 --> 00:00:42,631
porque para alguns problemas

12
00:00:43,173 --> 00:00:44,949
é muito mais conveniente

13
00:00:45,301 --> 00:00:50,013
fazer uso de outros conjuntos de coordenadas:

14
00:00:50,533 --> 00:00:52,949
coordenadas polares,

15
00:00:53,398 --> 00:00:54,638
coordenadas cilíndricas,

16
00:00:55,038 --> 00:00:56,590
coordenadas esféricas,

17
00:00:56,998 --> 00:00:59,101
coordenadas elípticas,

18
00:00:59,621 --> 00:01:02,077
parabólicas, hiperbólicas, e assim por diante.

19
00:01:02,557 --> 00:01:06,501
Temos muitas coordenadas a nossa disposição,

20
00:01:06,885 --> 00:01:08,874
cada uma delas adequada

21
00:01:09,202 --> 00:01:11,202
para um determinado tipo de problema.

22
00:01:11,590 --> 00:01:16,285
Hoje nós só vamos falar das coordenadas polares,

23
00:01:16,685 --> 00:01:18,413
são as mais simples.

24
00:01:18,821 --> 00:01:22,806
O que nós gostaríamos de explicar

25
00:01:23,230 --> 00:01:27,542
é que podemos determinar

26
00:01:27,862 --> 00:01:31,622
a posição de um ponto P no espaço

27
00:01:32,022 --> 00:01:37,534
fazendo uso de outras coordenadas

28
00:01:37,918 --> 00:01:41,710
além das coordenadas cartesianas.

29
00:01:42,472 --> 00:01:43,480
Essas coordenadas

30
00:01:43,920 --> 00:01:49,025
nós vamos designar por coordenadas polares;

31
00:01:49,553 --> 00:01:52,665
"Rô" e "Teta" (letras gregas)

32
00:01:53,032 --> 00:01:55,520
são as coordenadas polares.

33
00:01:55,952 --> 00:01:57,169
Como é que fazemos?

34
00:01:57,536 --> 00:01:58,368
Em primeiro lugar,

35
00:01:58,880 --> 00:02:01,089
essa coordenada "Rô",

36
00:02:01,473 --> 00:02:03,793
para a gente introduzi-la,

37
00:02:04,257 --> 00:02:05,345
vamos considerar,

38
00:02:05,841 --> 00:02:08,105
e sempre temos que fazer isso,

39
00:02:08,553 --> 00:02:13,656
a origem do referencial cartesiano,

40
00:02:14,072 --> 00:02:18,481
porque sempre fazemos uso do referencial cartesiano.

41
00:02:18,809 --> 00:02:20,537
E a partir do referencial cartesiano

42
00:02:20,921 --> 00:02:23,545
vamos lançar mão de outras coordenadas.

43
00:02:23,937 --> 00:02:26,392
Mas, eu tenho que ter um ponto

44
00:02:26,760 --> 00:02:28,616
como origem do referencial.

45
00:02:29,000 --> 00:02:31,526
Então "O" é a origem do referencial.

46
00:02:31,878 --> 00:02:35,486
E agora, eu vou definir a coordenada "Rô"

47
00:02:36,029 --> 00:02:40,415
como sendo igual à distância

48
00:02:41,311 --> 00:02:48,559
entre o ponto P e a origem do meu referencial.

49
00:02:49,178 --> 00:02:52,372
A primeira coordenada, portanto, "Rô",

50
00:02:52,740 --> 00:02:57,068
nada mais é do que uma distância,

51
00:02:57,732 --> 00:03:02,388
a distância do ponto P até a origem.

52
00:03:02,884 --> 00:03:07,836
A coordenada "Teta", por outro lado,

53
00:03:08,180 --> 00:03:15,156
é definida como sendo o ângulo associado à inclinação

54
00:03:15,236 --> 00:03:17,788
desse segmento de reta

55
00:03:18,116 --> 00:03:22,157
em relação a um eixo horizontal.

56
00:03:22,580 --> 00:03:24,484
Portanto, nesse caso,

57
00:03:24,908 --> 00:03:33,419
a coordenada "Teta" é esse ângulo (lousa)

58
00:03:34,175 --> 00:03:38,391
Então, as coordenadas "Rô" e "Teta"

59
00:03:38,426 --> 00:03:44,065
são, respectivamente, a distância do ponto P até a origem

60
00:03:44,537 --> 00:03:48,153
e, levando-se em conta esse segmento de reta,

61
00:03:48,533 --> 00:03:51,453
"Teta" é o ângulo entre o segmento de reta

62
00:03:51,901 --> 00:03:53,581
e um eixo horizontal.

63
00:03:53,989 --> 00:03:56,270
Como que fazemos na prática

64
00:03:56,749 --> 00:04:00,131
para determinarmos a posição do ponto P

65
00:04:00,571 --> 00:04:02,355
uma vez dadas essas coordenadas?

66
00:04:02,419 --> 00:04:05,579
Ora, a coisa é relativamente simples.

67
00:04:05,987 --> 00:04:09,203
Quando eu especificar essa coordenada,

68
00:04:09,563 --> 00:04:13,739
digamos, "Rô" = 5 m, por exemplo,

69
00:04:14,091 --> 00:04:18,307
"Rô" é dado, é a distância.

70
00:04:18,915 --> 00:04:21,013
Ora, o que nós estamos procurando?

71
00:04:21,421 --> 00:04:24,045
Nós estamos procurando o lugar geométrico

72
00:04:24,806 --> 00:04:30,908
dos pontos do espaço equidistantes da origem.

73
00:04:31,300 --> 00:04:35,164
Portanto, o lugar geométrico dos pontos do espaço

74
00:04:35,564 --> 00:04:39,845
equidistantes da origem é uma circunferência,

75
00:04:40,285 --> 00:04:41,965
porque todos esses pontos

76
00:04:42,356 --> 00:04:46,740
estão à mesma distância "Rô" da origem.

77
00:04:48,068 --> 00:04:50,220
Logo, quando eu disser

78
00:04:50,524 --> 00:04:53,117
"a coordenada Rô assume um determinado valor",

79
00:04:53,485 --> 00:04:56,933
eu não estou, ainda, determinando a posição P,

80
00:04:57,509 --> 00:05:00,932
mas estou determinando a circunferência.

81
00:05:01,348 --> 00:05:05,684
Quando eu especifico o valor do ângulo "Teta",

82
00:05:06,108 --> 00:05:11,189
agora sim, o valor do ângulo "Teta"

83
00:05:11,829 --> 00:05:16,648
me dá a inclinação desse segmento de reta

84
00:05:16,740 --> 00:05:20,892
com uma reta horizontal.

85
00:05:22,156 --> 00:05:25,028
Portanto, a forma de especificar

86
00:05:25,421 --> 00:05:28,125
a posição do ponto P

87
00:05:28,845 --> 00:05:36,124
é dando as coordenadas "Rô" e "Teta",

88
00:05:36,556 --> 00:05:42,349
onde "Rô" é a distância até a origem,

89
00:05:43,127 --> 00:05:45,680
e "Teta" é a inclinação.

90
00:05:46,352 --> 00:05:50,564
Ora, muitas vezes é muito conveniente

91
00:05:50,640 --> 00:05:57,047
estabelecermos uma relação entre essas coordenadas,

92
00:05:57,431 --> 00:05:58,631
as coordenadas polares

93
00:05:59,039 --> 00:06:01,952
com as coordenadas cartesianas.

94
00:06:02,344 --> 00:06:08,679
Para isso vamos desenhar o nosso referencial cartesiano,

95
00:06:09,103 --> 00:06:12,639
esse eixo, aqui, chamamos de eixo y,

96
00:06:13,159 --> 00:06:19,408
esse eixo, aqui, agora, nós chamamos de eixo x

97
00:06:21,152 --> 00:06:32,208
e, lembrando que a coordenada x do ponto P vai assumir esse valor,

98
00:06:32,688 --> 00:06:35,897
e a coordenada y do ponto P

99
00:06:36,440 --> 00:06:41,999
é definida através do lugar geométrico

100
00:06:41,883 --> 00:06:45,563
que eu encontro, dessas retas paralelas ao eixo x

101
00:06:46,019 --> 00:06:47,514
e paralelas ao eixo y,

102
00:06:47,994 --> 00:06:49,594
com os respectivos eixos.

103
00:06:50,002 --> 00:06:50,948
Então, essa aqui

104
00:06:51,316 --> 00:06:54,628
é a coordenada y desse ponto.

105
00:06:55,043 --> 00:06:57,489
Ora, como nós estamos vendo aqui

106
00:06:57,524 --> 00:07:07,323
a coordenada x nada mais é do que a projeção de "Rô",

107
00:07:08,794 --> 00:07:12,206
desse segmento sobre o eixo x.

108
00:07:12,606 --> 00:07:14,623
Ora, o que nós vemos aqui?

109
00:07:15,214 --> 00:07:18,350
Vemos que x pode ser escrito,

110
00:07:18,758 --> 00:07:20,206
ou pode ser escrita,

111
00:07:20,534 --> 00:07:22,798
em se tratando de uma coordenada,

112
00:07:23,222 --> 00:07:28,812
como sendo igual (leitura lousa)

113
00:07:29,396 --> 00:07:39,268
Veja que esta projeção, aqui, x = (leitura lousa)

114
00:07:39,908 --> 00:07:45,260
E o que podemos dizer com respeito a y?

115
00:07:45,828 --> 00:07:52,848
Ora, esse ângulo aqui é igual (leitura lousa)

116
00:07:52,931 --> 00:07:55,755
Então, a projeção sobre o eixo y

117
00:07:56,628 --> 00:08:07,803
eu escreveria como sendo y = (leitura lousa)

118
00:08:08,323 --> 00:08:10,972
Ora, existe uma relação simples

119
00:08:11,556 --> 00:08:15,924
entre cos "Pi" /2 - "Teta" e sen "Teta".

120
00:08:16,009 --> 00:08:19,025
Na verdade cos "Pi” /2 - "Teta"

121
00:08:19,473 --> 00:08:20,841
é igual a sen "Teta".

122
00:08:21,305 --> 00:08:28,917
Portanto, y = (leitura lousa)

123
00:08:29,341 --> 00:08:33,174
Ora, a partir dessas 2 relações,

124
00:08:33,574 --> 00:08:40,821
eu tenho como determinar as coordenadas x e y

125
00:08:41,421 --> 00:08:46,358
uma vez conhecidas as coordenadas "Rô" e "Teta".

126
00:08:46,798 --> 00:08:50,086
Agora, eu posso também, pensar no problema inverso.

127
00:08:50,486 --> 00:08:55,517
Como que eu determino as coordenadas "Rô" e "Teta"

128
00:08:56,013 --> 00:08:57,297
uma vez conhecidas

129
00:08:57,298 --> 00:09:01,782
as coordenadas cartesianas x e y?

130
00:09:02,189 --> 00:09:03,438
É o problema inverso,

131
00:09:03,846 --> 00:09:07,670
aqui, se eu conhecer "Rô" e "Teta", eu conheço x.

132
00:09:08,325 --> 00:09:11,253
Se eu conhecer "Rô" e "Teta", eu posso conhecer y.

133
00:09:11,803 --> 00:09:18,707
E agora o problema inverso: se eu conhecer x e y,

134
00:09:19,114 --> 00:09:20,634
como eu determino "Rô"?

135
00:09:21,026 --> 00:09:22,082
A coisa é simples:

136
00:09:22,490 --> 00:09:25,619
eu vou elevar y ao quadrado,

137
00:09:26,051 --> 00:09:27,771
vou elevar x ao quadrado,

138
00:09:28,466 --> 00:09:29,242
e vou somar.

139
00:09:29,618 --> 00:09:59,228
Então, o que eu tenho é: (leitura lousa)

140
00:09:59,596 --> 00:10:06,813
Portanto: Rô² = x² + y².

141
00:10:07,189 --> 00:10:09,157
Extraindo a raiz quadrada

142
00:10:09,185 --> 00:10:12,279
e, lembrando que "Rô" é uma distância,

143
00:10:12,351 --> 00:10:14,995
"Rô", portanto, é positivo,

144
00:10:15,119 --> 00:10:25,488
eu obtenho que "Rô" = (leitura lousa)

145
00:10:25,632 --> 00:10:28,943
Ou seja, se eu conhecer as coordenadas x e y

146
00:10:29,407 --> 00:10:33,775
eu sei determinar a coordenada "Rô".

147
00:10:34,003 --> 00:10:37,499
Veja que é o problema inverso do problema anterior,

148
00:10:37,987 --> 00:10:41,346
onde eu dou "Rô" e "Teta" e determino x e y.

149
00:10:41,366 --> 00:10:44,177
Agora não, eu dou x e y e determino "Rô".

150
00:10:44,633 --> 00:10:46,937
E agora, como eu determino a coordenada "Teta"?

151
00:10:47,550 --> 00:11:13,991
A coisa é simples, (leitura lousa)

152
00:11:14,026 --> 00:11:35,245
Ora, dessa equação, segue que: (leitura lousa)

153
00:11:35,845 --> 00:11:39,290
Portanto, com estas duas expressões

154
00:11:39,754 --> 00:11:45,683
eu tenho como determinar "Rô" e "Teta"

155
00:11:45,782 --> 00:11:50,866
a partir de y e x; conhecidos "x" e "y"

156
00:11:51,346 --> 00:11:52,854
eu posso determinar "Rô" e "Teta".

157
00:11:53,358 --> 00:11:55,037
Nas expressões aqui, acima,

158
00:11:55,469 --> 00:11:58,477
eu tenho como determinar x e y

159
00:11:58,949 --> 00:12:02,157
uma vez conhecidas as coordenadas "Rô" e "Teta".

160
00:12:02,557 --> 00:12:06,497
Eu só queria, antes de encerrar,

161
00:12:06,905 --> 00:12:16,090
lembrar que as coordenadas cilíndricas

162
00:12:16,514 --> 00:12:18,929
nada mais são do que a ampliação

163
00:12:19,297 --> 00:12:21,281
desse conjunto de coordenadas,

164
00:12:21,689 --> 00:12:24,337
onde além dessas duas coordenadas,

165
00:12:24,721 --> 00:12:30,386
eu introduzo a coordenada (leitura lousa),

166
00:12:30,754 --> 00:12:33,537
e isso define um conjunto de coordenadas

167
00:12:33,905 --> 00:12:35,929
conhecido como coordenadas cilíndricas.

168
00:12:36,049 --> 00:12:39,209
Para entendermos melhor as coordenadas polares,

169
00:12:39,529 --> 00:12:41,954
vamos fazer uso de uma animação.

170
00:12:42,712 --> 00:12:43,520
Em primeiro lugar,

171
00:12:43,904 --> 00:12:46,416
se eu quiser determinar um ponto do espaço

172
00:12:46,809 --> 00:12:48,792
fazendo uso das coordenadas polares,

173
00:12:49,144 --> 00:12:52,278
eu devo procurar um lugar geométrico

174
00:12:52,279 --> 00:12:53,779
dos pontos do espaço

175
00:12:53,830 --> 00:12:57,002
equidistantes de um ponto de origem,

176
00:12:57,506 --> 00:13:01,825
e isso vai me gerar uma circunferência.

177
00:13:02,273 --> 00:13:05,633
Agora, quando eu especificar o ângulo "Teta"

178
00:13:06,065 --> 00:13:08,538
eu vou determinar o lugar geométrico

179
00:13:08,570 --> 00:13:10,244
dos pontos do espaço

180
00:13:10,336 --> 00:13:12,113
que é a intersecção de uma reta

181
00:13:12,601 --> 00:13:14,828
que forma um ângulo "Teta" com a reta horizontal

182
00:13:14,836 --> 00:13:16,920
com uma circunferência.

183
00:13:17,000 --> 00:13:18,712
Agora, a partir dessa figura

184
00:13:19,168 --> 00:13:23,969
podemos entender a relação entre as coordenadas polares

185
00:13:24,329 --> 00:13:25,745
e as coordenadas cartesianas.

186
00:13:26,241 --> 00:13:29,816
As coordenadas cartesianas são determinadas

187
00:13:30,110 --> 00:13:33,726
como a projeção sobre o eixo x

188
00:13:34,166 --> 00:13:36,813
da distância entre esses 2 pontos.

189
00:13:37,341 --> 00:13:42,958
Portanto essa coordenada x = (leitura tela)

190
00:13:43,130 --> 00:13:46,266
A coordenada y é igual à projeção,

191
00:13:46,257 --> 00:13:47,746
como a gente vê na figura,

192
00:13:48,273 --> 00:13:49,641
no eixo y,

193
00:13:50,073 --> 00:13:54,882
e, portanto, y = (leitura tela)

194
00:13:57,525 --> 00:14:02,218
Transcrição e legendagem      Sandra Moscati