1
00:00:08,973 --> 00:00:12,632
Vamos falar agora do referencial mais simples

2
00:00:13,434 --> 00:00:17,049
e o mais utilizado na mecânica.

3
00:00:17,881 --> 00:00:22,168
Trata-se do referencial cartesiano.

4
00:00:22,888 --> 00:00:25,016
O que é o referencial cartesiano?

5
00:00:25,576 --> 00:00:33,240
Vamos admitir que nós saibamos de um ponto

6
00:00:34,025 --> 00:00:36,152
conhecido como origem

7
00:00:36,536 --> 00:00:43,032
e, agora, esse ponto passa a ser o ponto mais importante.

8
00:00:43,784 --> 00:00:44,968
Por quê?

9
00:00:45,560 --> 00:00:51,976
O referencial cartesiano é constituído, em primeiro lugar,

10
00:00:52,808 --> 00:00:54,856
é constituído por um ponto especial

11
00:00:55,368 --> 00:00:58,824
denominado ponto de origem

12
00:00:59,576 --> 00:01:06,954
e, agora, três eixos ortogonais entre si,

13
00:01:07,896 --> 00:01:10,600
passando por esse ponto.

14
00:01:11,192 --> 00:01:13,688
Vamos desenhar esses três eixos;

15
00:01:14,040 --> 00:01:20,200
esse primeiro eixo recebe o nome de eixo z,

16
00:01:20,473 --> 00:01:22,575
e indicamos com essa letra (lousa)

17
00:01:23,151 --> 00:01:26,417
O segundo eixo é conhecido como o ...

18
00:01:26,911 --> 00:01:31,024
nós utilizamos essa notação,

19
00:01:31,376 --> 00:01:40,063
é o eixo y, e esse eixo é ortogonal ao eixo z.

20
00:01:40,575 --> 00:01:44,063
Por ortogonal nós nos referimos ao fato

21
00:01:44,432 --> 00:01:47,420
de que o ângulo entre os dois

22
00:01:47,492 --> 00:01:52,591
é igual a "Pi" /2   radianos ou 90°.

23
00:01:53,025 --> 00:01:59,568
E, finalmente, um terceiro eixo ortogonal aos outros dois,

24
00:01:59,603 --> 00:02:04,032
e esse eixo recebe o nome de eixo x.

25
00:02:04,496 --> 00:02:08,015
Portanto, um referencial cartesiano

26
00:02:08,369 --> 00:02:10,554
nada mais é do que (leitura lousa)

27
00:02:18,776 --> 00:02:20,172
do referencial.

28
00:02:20,244 --> 00:02:25,286
Referencial cartesiano é um ponto e três eixos ortogonais entre si.

29
00:02:25,750 --> 00:02:28,294
Fica definido, portanto, aqui,

30
00:02:28,631 --> 00:02:33,302
o que é o referencial cartesiano em três dimensões.

31
00:02:33,814 --> 00:02:38,598
Quando nós estamos falando de duas dimensões

32
00:02:38,934 --> 00:02:43,656
usualmente nós utilizamos apenas dois eixos,

33
00:02:44,038 --> 00:02:50,374
E esses eixos são denominados y e eixo x.

34
00:02:52,438 --> 00:02:57,510
No caso do movimento em uma dimensão apenas,

35
00:02:57,942 --> 00:03:02,406
nós fazemos uso de apenas um eixo,

36
00:03:02,694 --> 00:03:07,590
e é muito comum designarmos esse eixo

37
00:03:07,848 --> 00:03:10,134
como sendo o eixo x.

38
00:03:10,616 --> 00:03:11,734
De forma que, aqui,

39
00:03:11,926 --> 00:03:16,823
eu tenho, na realidade, três referenciais cartesianos.

40
00:03:17,111 --> 00:03:18,229
Esse, aqui, é o mais geral

41
00:03:18,597 --> 00:03:21,976
quando eu estiver falando de espaço em três dimensões.

42
00:03:22,280 --> 00:03:23,670
Esse, aqui, eu faço uso

43
00:03:23,705 --> 00:03:27,672
quando eu estiver analisando ou estudando

44
00:03:28,023 --> 00:03:29,288
o movimento no plano

45
00:03:29,736 --> 00:03:35,462
e, finalmente, esse referencial cartesiano unidimensional,

46
00:03:35,497 --> 00:03:38,582
eu uso apenas um eixo.

47
00:03:39,110 --> 00:03:42,632
Mas, nos três casos,

48
00:03:42,950 --> 00:03:47,078
eu preciso de um ponto adotado como sendo de origem.

49
00:03:47,288 --> 00:03:49,464
Definido o referencial cartesiano,

50
00:03:49,784 --> 00:03:51,992
agora vamos a uma outra questão.

51
00:03:52,440 --> 00:03:58,698
Como que eu posso (leitura lousa)

52
00:03:59,336 --> 00:04:01,160
Uma coisa é escolher o referencial,

53
00:04:01,528 --> 00:04:07,043
outra coisa é como caracterizar um ponto no espaço;

54
00:04:07,044 --> 00:04:11,044
como determinar um ponto no espaço

55
00:04:11,091 --> 00:04:13,779
nesse referencial cartesiano.

56
00:04:14,163 --> 00:04:16,787
Ora, no referencial cartesiano

57
00:04:17,571 --> 00:04:24,611
nós introduzimos o conceito de coordenadas cartesianas,

58
00:04:25,139 --> 00:04:33,635
de tal forma que um ponto qualquer no espaço (P)

59
00:04:34,147 --> 00:04:39,940
vai ser caracterizado ou identificado

60
00:04:40,371 --> 00:04:44,323
por meio das coordenadas cartesianas.

61
00:04:44,915 --> 00:04:50,083
Então, um conceito importante,

62
00:04:51,395 --> 00:04:55,636
uma vez introduzido o referencial cartesiano,

63
00:04:55,939 --> 00:04:57,667
são as coordenadas.

64
00:04:58,083 --> 00:04:59,427
Eu vou definir agora,

65
00:04:59,667 --> 00:05:02,259
no referencial cartesiano,

66
00:05:02,483 --> 00:05:05,283
eu posso escolher um número muito grande de coordenadas.

67
00:05:05,635 --> 00:05:07,507
O que eu vou explicar agora

68
00:05:07,763 --> 00:05:10,468
é como introduzir as coordenadas cartesianas,

69
00:05:10,772 --> 00:05:14,675
uma vez especificado o referencial cartesiano.

70
00:05:15,955 --> 00:05:17,043
Ora, para isso,

71
00:05:17,331 --> 00:05:24,227
precisamos definir o que são as (leitura lousa)

72
00:05:24,467 --> 00:05:26,547
No caso unidimensional,

73
00:05:26,915 --> 00:05:29,445
estamos sempre pensando, na verdade,

74
00:05:29,683 --> 00:05:31,683
num objeto que se move,

75
00:05:31,907 --> 00:05:33,811
uma joaninha, por exemplo,

76
00:05:34,099 --> 00:05:39,363
que se mova ao longo de um fio, por exemplo;

77
00:05:39,382 --> 00:05:41,750
essa é a situação física mais simples

78
00:05:42,054 --> 00:05:44,390
que podemos imaginar.

79
00:05:44,710 --> 00:05:47,302
Então, eu tenho aqui um objeto,

80
00:05:47,657 --> 00:05:50,887
uma joaninha no plano.

81
00:05:51,206 --> 00:05:53,750
E como a joaninha se movimenta

82
00:05:53,990 --> 00:05:56,870
ao longo de uma linha reta,

83
00:05:57,158 --> 00:06:01,334
então vamos desenhar, aqui, esta linha reta,

84
00:06:02,871 --> 00:06:04,999
ela se move ao longo de uma linha reta.

85
00:06:05,319 --> 00:06:07,974
Ora, como é que eu posso especificar

86
00:06:08,361 --> 00:06:10,806
a posição da joaninha?

87
00:06:11,174 --> 00:06:13,798
Eu tenho que escolher um referencial

88
00:06:14,134 --> 00:06:16,552
e, no caso, o referencial cartesiano.

89
00:06:16,870 --> 00:06:19,129
Então, o que eu faço, é, em primeiro lugar,

90
00:06:19,431 --> 00:06:20,791
escolher um ponto.

91
00:06:21,047 --> 00:06:22,167
Eu posso escolher esse ponto

92
00:06:22,407 --> 00:06:24,486
da maneira mais arbitrária possível.

93
00:06:25,132 --> 00:06:27,881
Então vamos escolher, aqui, um ponto

94
00:06:28,073 --> 00:06:32,569
e esse ponto, vamos denominá-lo por ponto de origem;

95
00:06:32,793 --> 00:06:35,129
essa é a origem do referencial cartesiano

96
00:06:35,337 --> 00:06:39,961
no caso do movimento em uma dimensão.

97
00:06:40,969 --> 00:06:42,249
Escolhida a origem,

98
00:06:42,569 --> 00:06:48,795
claro que nós vamos passar um eixo pela origem

99
00:06:48,972 --> 00:06:50,170
e pela joaninha,

100
00:06:50,490 --> 00:06:52,523
esse é o próximo passo,

101
00:06:52,715 --> 00:06:54,841
passamos um eixo.

102
00:06:56,249 --> 00:06:59,211
Esse eixo, aqui, é o eixo x,

103
00:06:59,659 --> 00:07:02,651
E agora, esse eixo, na verdade,

104
00:07:02,857 --> 00:07:04,312
indica uma direção,

105
00:07:04,600 --> 00:07:08,521
e eu posso, para uma mesma direção,

106
00:07:08,825 --> 00:07:11,033
escolher dois sentidos.

107
00:07:11,289 --> 00:07:15,721
Se eu orientar o eixo "para cá" (ver lousa),

108
00:07:15,993 --> 00:07:17,579
para a direita, portanto,

109
00:07:17,929 --> 00:07:21,768
eu dei uma orientação a esse eixo.

110
00:07:22,073 --> 00:07:24,171
O que significa a orientação?

111
00:07:24,441 --> 00:07:25,785
Significa o seguinte:

112
00:07:28,025 --> 00:07:30,457
a posição desse objeto

113
00:07:31,065 --> 00:07:35,624
vai ser caracterizada pela coordenada x

114
00:07:36,010 --> 00:07:48,603
e, a coordenada x é igual à distância desse ponto (lousa),

115
00:07:49,259 --> 00:07:53,131
ou desse objeto puntiforme, até a origem.

116
00:07:53,515 --> 00:07:59,769
Portanto, "d", que aparece ali, é a distância.

117
00:08:00,025 --> 00:08:05,544
"x" é igual a "+d", quero chamar a atenção para isso,

118
00:08:05,912 --> 00:08:14,281
x = + d se o objeto estiver à direita do ponto O.

119
00:08:15,001 --> 00:08:19,000
Ou seja, uma vez que eu orientei para à direita,

120
00:08:19,256 --> 00:08:21,336
se esse ponto estiver à direita,

121
00:08:21,592 --> 00:08:23,112
o sinal aqui é "+".

122
00:08:23,432 --> 00:08:24,265
No entanto,

123
00:08:24,730 --> 00:08:28,633
no caso em que um outro objeto esteja à esquerda,

124
00:08:29,129 --> 00:08:32,971
a coordenada desse outro objeto,

125
00:08:33,224 --> 00:08:35,474
que eu vou chamar x',

126
00:08:37,087 --> 00:08:41,038
x'= - d',

127
00:08:41,486 --> 00:08:47,376
onde a distância, agora, é d'.

128
00:08:48,078 --> 00:08:49,023
Então, vejam,

129
00:08:49,487 --> 00:08:52,529
a coordenada x, no fundo,

130
00:08:52,564 --> 00:08:56,110
é a distância do ponto até a origem,

131
00:08:56,670 --> 00:08:58,944
mas precedida de um sinal;

132
00:08:59,550 --> 00:09:02,334
x é igual à distância precedida de um sinal.

133
00:09:02,847 --> 00:09:08,817
Esse sinal reflete a orientação dada ao eixo.

134
00:09:09,631 --> 00:09:14,222
Portanto, se o ponto estiver à direita da origem,

135
00:09:14,526 --> 00:09:16,046
escolhida essa orientação,

136
00:09:16,464 --> 00:09:17,438
o sinal é "+"

137
00:09:17,758 --> 00:09:19,726
e, se estiver à esquerda, o sinal é "-".

138
00:09:20,080 --> 00:09:24,847
Então, veja que, no caso das coordenadas cartesianas,

139
00:09:25,279 --> 00:09:28,526
nós devemos admitir valores positivos

140
00:09:28,782 --> 00:09:30,590
e valores negativos.

141
00:09:31,342 --> 00:09:35,407
É claro que esses valores positivos ou negativos

142
00:09:35,695 --> 00:09:41,870
dizem respeito à orientação dada ao eixo.

143
00:09:42,158 --> 00:09:44,574
Se eu tivesse orientado de maneira oposta,

144
00:09:45,022 --> 00:09:48,014
essa mesma coordenada seria negativa.

145
00:09:49,022 --> 00:09:52,703
Então, é importante entender a questão do sinal.

146
00:09:53,137 --> 00:09:55,986
Mas, em uma dimensão, a coordenada

147
00:09:55,987 --> 00:09:58,087
é basicamente a distância

148
00:09:58,406 --> 00:10:01,374
precedida de um sinal, que pode ser "+" ou "-".

149
00:10:02,014 --> 00:10:04,848
Muito bem, vamos agora a um caso

150
00:10:05,120 --> 00:10:10,047
um pouquinho mais complexo do que esse,

151
00:10:10,447 --> 00:10:16,606
que é o problema de determinar a posição de um ponto no espaço,

152
00:10:18,382 --> 00:10:23,918
mas, ao invés de considerarmos o caso geral,

153
00:10:24,144 --> 00:10:27,903
vamos pensar num ponto no plano.

154
00:10:28,367 --> 00:10:30,558
Esse ponto no plano (P)

155
00:10:30,910 --> 00:10:36,158
vai ser caracterizado pelas coordenadas cartesianas x

156
00:10:36,622 --> 00:10:39,902
e a coordenada cartesiana y (leitura lousa).

157
00:10:40,256 --> 00:10:46,878
O problema é: como eu determino as coordenadas "x" e "y"

158
00:10:47,216 --> 00:10:49,262
desse ponto no plano?

159
00:10:50,237 --> 00:10:52,461
A coisa aqui é bastante simples

160
00:10:53,165 --> 00:10:55,661
porque tudo o que eu tenho que fazer

161
00:10:56,029 --> 00:11:08,566
é traçar uma reta paralela ao eixo y,

162
00:11:09,638 --> 00:11:12,758
até encontrar o eixo x.

163
00:11:14,582 --> 00:11:19,399
Agora, esse ponto de encontro, aqui,

164
00:11:19,814 --> 00:11:25,334
dessa reta paralela ao eixo y com o eixo x,

165
00:11:26,374 --> 00:11:32,185
tem uma coordenada x.

166
00:11:34,694 --> 00:11:40,518
Considero, agora, uma reta passando por esse ponto

167
00:11:41,942 --> 00:11:44,742
e paralela ao eixo x,

168
00:11:45,783 --> 00:11:50,422
até essa reta encontrar o eixo y.

169
00:11:51,382 --> 00:11:55,318
Portanto, a coordenada y

170
00:11:55,848 --> 00:12:01,935
é a coordenada associada a esse ponto de encontro

171
00:12:02,255 --> 00:12:07,215
dessa reta paralela ao eixo x, com o eixo y.

172
00:12:07,695 --> 00:12:10,511
Esta é, portanto, a coordenada y,

173
00:12:10,863 --> 00:12:14,223
e esta é a coordenada x.

174
00:12:15,743 --> 00:12:17,687
Portanto, eu tenho, agora,

175
00:12:17,688 --> 00:12:23,088
uma forma bastante simples e muito concreta

176
00:12:23,154 --> 00:12:30,335
de especificar a posição de um ponto no plano

177
00:12:30,705 --> 00:12:35,759
utilizando as coordenadas cartesianas "x" e "y";

178
00:12:35,999 --> 00:12:39,166
e essas coordenadas são determinadas

179
00:12:39,486 --> 00:12:43,871
desse jeito que eu expliquei agora há pouco,

180
00:12:44,175 --> 00:12:49,983
lembrando que o sinal dessas coordenadas aqui

181
00:12:50,335 --> 00:12:57,630
depende da orientação relativa dos eixos "x" e "y".

182
00:12:57,969 --> 00:12:59,679
Como que nós fazemos, agora,

183
00:12:59,935 --> 00:13:02,111
no caso tridimensional?

184
00:13:02,353 --> 00:13:05,327
Se eu tenho um ponto P no espaço,

185
00:13:05,631 --> 00:13:08,767
eu devo, em primeiro lugar,

186
00:13:10,270 --> 00:13:23,978
considerar um plano paralelo ao plano xy,

187
00:13:24,378 --> 00:13:26,490
passando pelo ponto P.

188
00:13:27,499 --> 00:13:33,147
A intersecção desse plano com o eixo z

189
00:13:33,675 --> 00:13:37,722
vai me determinar a coordenada z.

190
00:13:38,124 --> 00:13:40,586
Mas vejam que eu não estou traçando aqui uma reta,

191
00:13:40,842 --> 00:13:41,962
eu estou considerando

192
00:13:42,154 --> 00:13:46,271
a intersecção de um plano paralelo ao plano xy,

193
00:13:46,272 --> 00:13:47,772
com o eixo z.

194
00:13:47,819 --> 00:13:49,940
Isto, então, vai me determinar

195
00:13:50,166 --> 00:13:54,533
a coordenada z deste ponto P.

196
00:13:55,493 --> 00:14:01,636
Agora, pelo ponto P, vou traçar uma reta,

197
00:14:02,055 --> 00:14:03,940
sim, uma reta,

198
00:14:04,196 --> 00:14:14,249
até essa reta perfurar esse plano xy num ponto P'.

199
00:14:14,250 --> 00:14:20,150
Este ponto é ponto no plano xy

200
00:14:20,246 --> 00:14:26,894
que é a intersecção dessa reta paralela ao eixo z,

201
00:14:27,360 --> 00:14:30,461
e que perfura o plano no ponto P'.

202
00:14:30,717 --> 00:14:32,896
Agora, por esse ponto P',

203
00:14:33,181 --> 00:14:36,304
eu devo traçar duas retas,

204
00:14:36,542 --> 00:14:41,851
uma paralela ao eixo x

205
00:14:42,267 --> 00:14:47,083
até encontrar o eixo y

206
00:14:47,563 --> 00:14:53,804
e, este ponto aqui, agora determino a coordenada y;

207
00:14:53,839 --> 00:14:59,051
e, agora, uma outra reta paralela ao eixo y

208
00:14:59,276 --> 00:15:04,971
até encontrar o eixo x.

209
00:15:06,762 --> 00:15:08,476
Então, resumindo,

210
00:15:08,746 --> 00:15:11,836
eu traço uma reta paralela ao eixo z,

211
00:15:12,123 --> 00:15:14,859
até encontrar o plano xy,

212
00:15:14,894 --> 00:15:17,051
e agora, por esse ponto,

213
00:15:17,483 --> 00:15:22,140
que é o ponto que perfura o plano xy,

214
00:15:22,317 --> 00:15:25,691
eu traço duas outras retas,

215
00:15:25,726 --> 00:15:30,605
um delas paralela ao eixo x,

216
00:15:30,640 --> 00:15:33,341
e a outra paralela ao eixo y.

217
00:15:33,595 --> 00:15:38,230
E agora, esses pontos de encontro do eixo y

218
00:15:38,440 --> 00:15:39,991
com essa reta paralela,

219
00:15:40,183 --> 00:15:42,519
me determina a coordenada y,

220
00:15:42,759 --> 00:15:45,974
e essa aqui, me determina a coordenada x.

221
00:15:47,622 --> 00:15:53,398
Como se vê, o ideal aqui é ter uma imagem tridimensional,

222
00:15:53,721 --> 00:15:59,846
e para isso, eu estou lançando mão dessa animação.

223
00:16:00,278 --> 00:16:05,126
Eu estou considerando um sistema de referência cartesiano (3 eixos),

224
00:16:05,480 --> 00:16:07,830
eu tenho um ponto no espaço.

225
00:16:08,134 --> 00:16:10,086
E agora, a primeira providência

226
00:16:10,292 --> 00:16:13,605
é considerar um plano, estamos vendo, agora,

227
00:16:13,660 --> 00:16:18,519
em três dimensões, o plano perfura o eixo z

228
00:16:18,965 --> 00:16:23,940
e, esse ponto, determina a coordenada z.

229
00:16:24,900 --> 00:16:30,165
Agora, traçamos essa reta paralela ao eixo z

230
00:16:30,404 --> 00:16:32,359
até encontrar o plano xy.

231
00:16:32,581 --> 00:16:35,701
E agora, traçamos duas retas.

232
00:16:35,941 --> 00:16:39,478
Uma reta paralela ao eixo x,

233
00:16:39,723 --> 00:16:41,595
e a outra paralela ao eixo y,

234
00:16:41,771 --> 00:16:44,476
até encontrar os respectivos eixos.

235
00:16:44,766 --> 00:16:45,564
E, com isso, então,

236
00:16:45,756 --> 00:16:49,338
nós determinamos as coordenadas cartesianas

237
00:16:49,339 --> 00:16:53,239
de um ponto qualquer arbitrário do espaço.

238
00:16:55,700 --> 00:17:00,533
Transcrição e legendagem      Sandra Moscati