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[MAP2313-1] Tópicos de Matemática Aplicada

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Aula sobre convergência pontual e uniforme de séries de Fourier. Apresentamos a definição de convergência pontual e uniforme. Enunciamos o Teorema de convergência pontual e uniforme de séries de Fourier.
Esta é uma aula para o curso de Tópicos de Matemática Aplicada (MAP-2313). Nesta aula, falaremos sobre a equação da onda. Em particular: 1) Faremos a dedução da equação da onda para modelar o deslocamento transversal de uma corda. 2) Faremos a comparação com a equação do calor (Calor precisa de uma condição inicial e onda duas condições iniciais). 3) Resolveremos a equação do calor unidimensional com condições de Dirichlet e Neumann.
Nessa aula, faremos uma revisão de álgebra linear: produto interno e bases ortonormais. Mostraremos que a expansão de uma função em série de Fourier é análogo a escrever um vetor em termos de uma base ortonormal, como fazemos nos cursos de álgebra linear.
Nesta aula, enunciaremos um resultado a respeito da convergência das séries de Fourier em L2 e provamos a fórmula de Parseval.
Nesta aula apresentamos dois métodos para resolução da equação do calor não homogênea.
Esta aula se divide em duas partes: Na primeira, mostramos mais um exemplo do método de resolução de equações não homogêneas, usando a equação da onda. Na segunda parte, mostramos como resolver problemas com condições de contorno periódicas e mistas (parte Dirichlet, parte Neumann).
Nesta aula motivaremos o estudo do problema de Sturm-Liouville através da equação do calor. Depois enunciaremos o principal resultado: a existência de uma base ortonormal de autofunções para o problema em questão.
Nesta aula apresentaremos diversos exemplos de problemas de Sturm-Liouville. No final aplicaremos um dos exemplos ao estudo da equação de onda com condições de contorno mistas.
Nesta aula mostraremos como resolver a equação do calor e da onda em abertos limitados de Rn com condições de Dirichlet. Veremos que ambas as equações nos levam ao estudo do problema de autovalores para o Laplaciano com condições de Dirichlet. No caso em que o aberto é um retângulo, obteremos a solução explícita dos problemas.
Nesta aula motivaremos a equação de Laplace com condições de Dirichlet através da equação do calor. Resolveremos a equação em um segmento de reta, num retângulo e numa bola, usando o método de separação de variáveis. No final, deduziremos a fórmula de Poisson.
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