Nesta aula apresentamos a definição e as propriedades básicas da transformada de Fourier em espaços euclidianos, provamos a fórmula de inversão de Fourier para a transformada restrita ao espaço de Schwartz, e aplicamos a teoria à equação do calor.
Nesta aula apresentamos uma breve introdução ao estudo das séries de Fourier. Introduzimos os núcleos de Dirichlet e Fejer, e discutimos a convergência Cesaro de séries de Fourier de funções contínuas. Examinamos a convolução de funções integráveis no círculo unitário e na reta, e como aplicação provamos o teorema da aproximação de Weierstrass.
Nesta aula introduzimos os espaços L^p de Lebesgue. Para isto, provamos inicialmente as desigualdades de Hölder e Minkowski. Mostramos também que esses espaços são completos, isto é, são espaços de Banach.
Nesta aula exploramos consequências do teorema da diferenciação de Lebesgue, incluindo a diferenciabilidade de funções monótonas, funções de variação limitada, e funções absolutamente contínuas. Também examinamos a questão: quando uma função diferenciável em quase todo ponto é a integral de sua derivada?
Nesta aula apresentamos a prova do teorema da diferenciação de Lebesgue, e alguns corolários. Introduzimos o conceito de conjunto de Lebesgue de uma função localmente integrável, e examinamos a derivada de Radon-Nikodym de uma medida complexa em relação à medida de Lebesgue à luz do teorema da diferenciação de Lebesgue.
Nesta aula, apresentamos a definição do operador maximal de Hardy-Littlewood, o lema da cobertura de Wiener, a desigualdade de Hardy-Littlewood e ao final o enunciado do teorema da diferenciação de Lebesgue.
Nesta aula, apresentamos a decomposição de Jordan, a noção de medidas mutuamente singulares, a definição de continuidade absoluta de uma medida complexa em relação a uma medida positiva, culminando com o teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym.
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[MAT5798-11] Medida e Integração
